Combinatoire et dénombrement

Entraînement

Exercice 1 · Calculs de base

Calculer sans calculatrice :

a) $6!$    b) $\dfrac{10!}{8!}$    c) $\dbinom73$    d) $\dbinom{10}{8}$    e) $\dbinom{50}{1}+\dbinom{50}{49}$

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Exercice 2 · Le cadenas

Le code d'un cadenas est formé de 3 chiffres, chacun étant choisi entre 1 et 9.

1. Combien de codes différents existe-t-il ?
2. Combien de codes se terminent par un chiffre pair ?
3. Combien de codes contiennent au moins une fois le chiffre 4 ?
4. Combien de codes contiennent exactement une fois le chiffre 4 ?

Dans les questions suivantes, on impose que les trois chiffres du code soient distincts.

5. Combien de codes différents existe-t-il ?
6. Combien de codes se terminent par un chiffre impair ?
7. Combien de codes contiennent le chiffre 6 ?

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Exercice 3 · Élections de classe

Une classe compte 30 élèves.

1. On élit un délégué et un suppléant (deux élèves différents). Combien de résultats possibles ?
2. On forme un groupe de 3 élèves pour un exposé. Combien de groupes possibles ?

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Exercice 4 · Anagrammes

On appelle anagramme du mot MATHS tout mot (ayant un sens ou non) formé avec exactement ses 5 lettres.

1. Combien le mot MATHS a-t-il d'anagrammes ?
2. Combien commencent par une voyelle ?
3. Combien se terminent par TH (dans cet ordre) ?

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Exercice 5 · Podium

Vingt coureurs, dont Émile, prennent le départ d'une course.

1. Combien de podiums (premier, deuxième, troisième) différents peut-on obtenir ?
2. Combien de ces podiums ont Émile à la première place ?
3. Combien de podiums comprennent Émile, à n'importe quelle place ?
4. Les trois premiers reçoivent désormais chacun le même prix. Combien de groupes de lauréats différents sont possibles ?

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Exercice 6 · Les boulangeries

Dans une ville, quatre boulangeries ferment chacune un jour par semaine.

1. De combien de façons peut-on attribuer un jour de fermeture hebdomadaire à chaque boulangerie ?
2. Même question si deux boulangeries ne peuvent jamais fermer le même jour.
3. Même question si l'on impose que, chaque jour de la semaine, au moins une boulangerie soit ouverte.

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Exercice 7 · Mains de cartes

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes (4 couleurs, 8 hauteurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).

1. Combien de mains différentes peut-on obtenir ?
2. Combien de mains contiennent exactement 2 cœurs ?
3. Combien de mains contiennent au moins un cœur ?
4. Un « carré » est une main contenant les 4 cartes d'une même hauteur. Combien de mains contiennent un carré ?

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Exercice 8 · Chemins sur un quadrillage

On se déplace sur le quadrillage ci-dessous du point $O(0\,;0)$ au point $B(5\,;3)$ en faisant uniquement des pas d'une unité vers la droite (D) ou vers le haut (H).

1. Justifier qu'un chemin est un mot de 8 lettres contenant 5 fois D et 3 fois H.
2. En déduire le nombre de chemins de $O$ à $B$.
3. Combien de chemins passent par le point $A(2\,;2)$ ?
4. Combien de chemins évitent le point $A$ ?

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Exercice 9 · Triangle et relation de Pascal

1. Écrire les lignes $n=0$ à $n=7$ du triangle de Pascal.
2. Vérifier sur le triangle que $\binom73=\binom62+\binom63$.
3. Démontrer la relation de Pascal par le calcul, à l'aide de l'expression $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ : pour $n\geqslant 2$ et $1\leqslant k\leqslant n-1$, $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom nk$.

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Exercice 10 · Anagrammes avec lettres répétées

Dénombrer les anagrammes de chacun des mots suivants : MATHS, RIRE, ANANAS.

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Exercice 11 · Tirages dans un jeu de 32 cartes

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. Combien de tirages différents peut-on obtenir :

1. sans aucune contrainte ;
2. formés de 5 carreaux ou de 5 piques ;
3. formés de 2 carreaux et de 3 piques ;
4. contenant au moins un roi ;
5. contenant au plus un roi ;
6. contenant exactement 2 rois et exactement 3 piques ?

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Exercice 12 · Nombres sans chiffre 1

On note $A$ l'ensemble des nombres entiers qui s'écrivent avec exactement 7 chiffres, aucun de ces chiffres n'étant un 1. Déterminer le nombre d'éléments :

1. de l'ensemble $A$ ;
2. de l'ensemble $A_1$ des nombres de $A$ dont les 7 chiffres sont deux à deux différents ;
3. de l'ensemble $A_2$ des nombres pairs de $A$ ;
4. de l'ensemble $A_3$ des nombres de $A$ dont les chiffres, lus de gauche à droite, forment une suite strictement croissante.

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Exercice 13 · Le poker

Au poker, une main est formée de 5 cartes tirées simultanément dans un jeu de 52 cartes. Les quatre couleurs sont trèfle, carreau, cœur et pique, et les valeurs sont rangées de la plus forte à la plus faible : as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2. Dénombrer les mains suivantes.

1. Les quintes flush : 5 cartes de valeurs consécutives et de la même couleur (la suite as, 2, 3, 4, 5 compte aussi comme une quinte flush).
2. Les carrés : mains contenant les 4 cartes d'une même valeur.
3. Les fulls : 3 cartes d'une même valeur et 2 cartes d'une autre même valeur (par exemple 3 as et 2 rois).
4. Les quintes : 5 cartes de valeurs consécutives qui ne sont pas toutes de la même couleur.
5. Les brelans : mains contenant 3 cartes d'une même valeur, qui ne sont ni un carré ni un full.

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Exercice 14 · Bureau d'une association

Une association compte 12 membres : 7 femmes et 5 hommes.

1. On élit un bureau de 4 personnes, sans rôles. Combien de bureaux possibles ?
2. Combien de ces bureaux comportent au moins une femme et au moins un homme ?
3. On élit maintenant un président, un trésorier, et deux autres membres sans rôle (4 personnes distinctes). Combien de bureaux possibles ?

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Exercice 15 · Le comité et son président

Soit $n\geqslant1$.

1. Montrer que pour $1\leqslant k\leqslant n$ : $k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$.
2. En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\binom nk=n\,2^{n-1}$.
3. Interpréter la relation de la question 1 en comptant de deux façons les comités de $k$ personnes dont l'un des membres est désigné président, choisis dans un groupe de $n$ personnes.

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Exercice 16 · Le concours

Pour $n\geqslant1$, on note $u_n$ le nombre de listes de $n$ termes, chaque terme valant 0 ou 1, qui ne contiennent jamais deux termes égaux à 1 consécutifs.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer que, pour tout $n\geqslant3$, $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$.
3. Écrire une fonction Python qui renvoie $u_{20}$.
4. Application. Un concours comporte vingt questions numérotées de 1 à 20. Parmi les $17\,712$ candidats, on constate qu'aucun n'a répondu juste à deux questions consécutives. Peut-on affirmer qu'au moins deux candidats ont répondu de la même façon au questionnaire, c'est-à-dire juste aux mêmes questions et faux aux mêmes questions ?

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Exercice 17 · Une somme égale à $2n+1$

Soit $n\geqslant1$. On choisit $n+1$ entiers distincts dans l'ensemble $\{1,2,\dots,2n\}$. Démontrer que, parmi ces entiers, on peut toujours en trouver deux dont la somme vaut $2n+1$.

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Exercice 18 · Les chapitres d'un livre

Un livre comporte 14 chapitres, numérotés de 1 à 14.

1. De combien de façons peut-on choisir 3 chapitres de ce livre ?
2. Pour $k\in\{3,\dots,14\}$, dénombrer les choix de 3 chapitres dont le plus grand numéro est $k$.
3. En déduire que $\displaystyle\binom{14}{3}=\binom{13}{2}+\binom{12}{2}+\dots+\binom32+\binom22$.
4. Généraliser ce raisonnement pour démontrer que, pour $1\leqslant p\leqslant n$, $\displaystyle\sum_{k=p}^{n}\binom kp=\binom{n+1}{p+1}$.

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Exercice 19 · Somme des carrés des coefficients binomiaux

Démontrer par un dénombrement que, pour tout entier $n\geqslant1$, $\displaystyle\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk^2$.

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Exercice 20 · Inclusion et partition

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments.

1. Déterminer le nombre de couples $(X,Y)$ de parties de $E$ tels que $X\subset Y$.
2. Déterminer le nombre de couples $(X,Y)$ de parties de $E$ tels que $X\cap Y=\varnothing$.
3. Déterminer le nombre de triplets $(X,Y,Z)$ de parties de $E$, deux à deux disjointes, telles que $X\cup Y\cup Z=E$.

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Sujets de bac

Exercice 21 · Centres étrangers, 6 juin 2024, sujet 2

Exercice 1, questions 1, 2 et 7.a.

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.

À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.

Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus. Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est $(4\,;\,5\,;\,1)$.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. a) Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
   b) En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
3. Si un joueur obtient une somme des trois numéros supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot. Justifier qu'il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.

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Exercice 22 · Amérique du Sud, 21 novembre 2024, jour 1

Exercice 2, partie C, questions 1 et 2.

On dispose d'une urne opaque U₁ qui contient 4 boules noires et 6 boules blanches. On pioche simultanément deux boules dans l'urne U₁.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U₁ ?
2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U₁ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?

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Exercice 23 · Centres étrangers, 13 juin 2025, sujet 2

Exercice 3, partie A.

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

On s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.

1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
3. a) Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
   b) En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
   c) Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
   d) Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.

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Exercice 24 · Amérique du Sud, 14 novembre 2025, jour 2

Exercice 4, partie A, questions 1 à 3.

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $-30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi :

Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.

1. Combien de couples $(a\,;\,c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l'évènement $M$ : « l'équation $ax^2+2x+c=0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

2. Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac\lt 1$.
3. Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte $1\,740$ issues.

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Exercice 25 · Vrai ou faux

Extraits de sujets 2025 et 2026. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. (Métropole, 9 septembre 2025, sujet 1, exercice 4.) Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet. Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat. Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.
   Affirmation : le nombre de codes différents pouvant être générés est $5\,040$.
2. (Polynésie, 2 septembre 2025, exercice 4.) Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k\leqslant n$.
   Affirmation : $n\times\binom{n-1}{k-1}=k\times\binom nk$.
3. (Nouvelle-Calédonie, 20 novembre 2025, jour 1, exercice 4.) Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot. Exemple : le mot BAC possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.
   Affirmation : le mot EULER possède 120 anagrammes.
4. (Asie, 9 juin 2026, sujet 1, exercice 2.) On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des 16 cases d'un quadrillage.
   Affirmation : on peut réaliser $\binom{16}{3}$ coloriages différents.
5. (Asie, 10 juin 2026, sujet 2, exercice 4.) Une urne contient 32 jetons numérotés de 1 à 32 indiscernables au toucher. On tire simultanément 5 jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.
   Affirmation : le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de 8 est égal à $103\,096$.
6. (Polynésie, 17 juin 2026, jour 2, exercice 4.) Un refuge spécialisé accueille 24 rapaces numérotés de 1 à 24. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de 1 à 3, constitués chacun de 8 rapaces.
   Affirmation : le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes 1 à 3 est $\dfrac{24!}{(8!)^3}$.

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