Compléments sur la dérivation

Ce que mesure le nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la limite, quand elle existe :

Géométriquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Quand $f'(a) > 0$ la courbe monte, quand $f'(a) < 0$ elle descend, et quand $f'(a) = 0$ la tangente est horizontale.

Observe ce qui se passe quand tu passes par les points où la courbe change de sens : la pente s'annule, puis change de signe.

Équation de la tangente

La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation :

C'est la droite qui passe par le point $(a, f(a))$ avec la pente $f'(a)$. Rien de plus.

Dérivée d'une composée

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $u(I)$, alors $g \circ u$ est dérivable sur $I$ et :

Cas particuliers à connaître par cœur :

• $(e^{u})' = u'\,e^{u}$
• $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ pour $u > 0$
• $(u^{n})' = n\,u'\,u^{n-1}$
• $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ pour $u > 0$